تاریخچه ضرب و تقسیم پر ریاضی دنیا



tebyan-zn.ir

این تصویر ممکن تحت حق ثبت م

از آن جا که چنین روش هایی ذاتاً وابسته به دستگاه شمارِ به کار گرفته شده هستند، دریافتن این که روال های اولیه کاملاً با روش های امروزی فرق داشته اند چندان تعجب برانگیز نیست.

چندین مسئله از پاپیروس رایند نشان می دهند که مصریان قبل از سال 1650 پیش از میلاد برای ضرب کردن از روشی استفاده می کردند که در آن اعداد به طور متوالی دو برابر می شدند و سپس مضرب های مناسب با هم جمع می شدند. چون برای «دو برابر کردن» عددی که به هیروگلیف نوشته شده باشد، کافی است نمادهای عدد مورد نظر بازنویسی شوند (و در صورت لزوم، واحد بزرگ تر بعدی جایگزین شود)، برای انجام این عمل ضرب، فقط نیاز به توانایی جمع کردن بوده است.

ردِّ گونه ای از این روش را می توان تا قرون وسطی در عمل «تضعیف و تنصیف» (دو برابر کردن و نصف کردن) دنبال کرد. ساده ترین توجیه این روال بر حسب نمایش دودویی عددهاست، گرچه مصریان با این نمایش آشنا نبوده اند.

بابلی ها (بیش از 2000 سال پیش از میلاد) ضرب را با رجوع به جدول های ضرب انجام می دادند که بی شک با استفاده از عمل جمع ساخته می شدند. جدول های معکوس ها (مقادیر 1/N به ازای عددهای مفروض N، که هر دو به شکل شصتگانی بیان می شدند) عمل تقسیم را به عمل ضرب تبدیل می کرد. جدول معکوس ها همچنین امکان کار با کسرها را، چنان که خواهیم دید، به شیوه ای بهتر از آنچه مصریان به کار می بردند فراهم می کرد.

مثال هایی از شیوه ی ضرب یونانیان توسط یکی از ریاضیدانان قرن پنجم میلادی، ائوتوسیوس آسکالونی (1)، در شرحی که بر اثر ارشمیدس، اندازه گیری دایره، نوشته به دست داده شده است. چون اعداد به شکل حرفی بیان می شدند، هر رقم مضروب، با شروع از بزرگ ترین رقم، به ترتیب در هر رقم مضروب علیه، باز هم با شروع از بزرگ ترین، ضرب می شد. آخرین مرحله، جمع کردن این مقادیر بود. بنابراین، پایه ی روش ضرب یونانیان کاملاً شبیه روش امروزی ما بوده است.

اگر درست باشد که یونانیان برای محاسبه نیازی به چرتکه نداشته اند، می بایست حسابگران متبحری بوده باشند که جدول های جمع و ضرب را به خوبی به خاطر می سپرده اند (این جدول ها، به دلیل استفاده از تعداد زیادی نماد برای نوشتن عددها، بسیار بزرگ تر از جدول های امروزی بوده اند). البته باید به خاطر داشت که شهروندان عادی یا حتی کاسبکارها توانایی انجام چنین عملیاتی را نداشتند.

دستگاه عددنویسی هندی – عربی، با اصل ارزش مکانی و با صفر، حدود اواخر قرن سیزدهم میلادی شروع به تسخیر اروپا کرد. حسابدانان اولیه که سادگی این دستگاه را دریافته بودند، به ابداع روش هایی برای ضرب و تقسیم عددها پرداختند. هندیان هم تجربیاتی در مورد این مسئله داشتند، ولی عرفان رازآلود آن ها و شیوه ی ثبت نامفهوم نتایج به شعر، درک و پذیرش عمومی روش های آن ها را به تأخیر انداخت.

در واقع، اواخر قرن پانزدهم بود که حساب به آرامی شکلی نوین به خود گرفت. کتاب نیکوماخوس گراسایی (2) به نام حساب مقدماتی (3) (حدود سال 100 پس از میلاد) جدول ضربی به دست داد که تا 10×10 پیش می رفت، ولی قاعده ای برای ضرب و تقسیم در بر نداشت. کتاب حساب (4) فیبوناتچی (5) (1202) از لحاظ استفاده از عددهای هندی – عربی قابل توجه بود، ولی چیزی به هنر محاسبه نیفزود.

نخستین اثر چاپ شده ی حساب در سال 1478 در ترویزو (6)، ایتالیا، منتشر شد. ایتالیایی ها که الگوی هندی ها را پیشِ رو داشتند، به ابداع طرح هایی برای ضرب و تقسیم علاقه مند شدند. لوکا پاچولی (7) برخی از این روش ها را در کتابش به نام رساله ی جامع در حساب، هندسه، نسبت ها و تناسب (8) که معمولاً با عنوان رساله (9) به آن اشاره می شود و در سال 1494 منتشر شد، شرح داده است. او هشت شکل مختلف ضرب را معرفی می کند که بعضی از آن ها نام هایی عجیب دارند، مثل کاستلوچو (10) («به روش قلعه ی کوچک») و گراتیکولا (11) یا جلوشا (12) («ضرب مشبک»). نام «ضرب مشبک» از نرده هایی گرفته شده است که در پنجره های خانه های ونیز کار می گذاشتند تا ساکنان خانه از نگاه کنجکاو مردم در امان باشند.

به همین ترتیب، طرح هایی برای تقسیم ابداع شد و چهار تا از این طرح ها را پاچولی پیشنهاد کرد. دستگاهی که بیشتر مورد توجه قرار گرفت، روش «گالی» (13) نامیده می شد، هم به این دلیل که در شکل نهایی اش، شبیه این کشتی بود و هم به این دلیل که این روش را سریع ترین روش می دانستند و گالی هم سریع ترین قایق بود. در این روش تقسیم، از روش «چرکنویس» (14) برای نوشتن کار استفاده می شد.

شیوه‌ ای که امروزه در تقسیم طولانی به کار می بریم به تدریج بعد از روی کار آمدن اعداد هندی - عربی بسط پیدا کرد. در پایان قرن هفدهم، روش جدید به خوبی بسط یافته بود و روش گالی روشی قدیمی محسوب می شد.

عجیب به نظر می رسد که سال های متمادی، جز در مورد بابلی ها که قبلاً ذکر شد، ظاهراً از جداول ضرب به عنوان وسیله ای کمکی در محاسبات استفاده نمی شده است. بوئتیوس (15) (480-524م)، در کتابش به نام بنیادهای حساب (16) جدول کوچک نیکوماخوس را سر زبان ها انداخت، ولی آن را بسط نداد.

در آثار اولیه ی حساب تجاری ایتالیا، اغلب جداولی شامل حاصل ضرب اعداد اول تا 47×47 و گاهی تا 97×97 داده می شد. ظاهراً اولین جدول بزرگ ضرب در مونیخ در سال 1610 توسط هروارت فون هوهنبرگ (17) منتشر شد. ولی بعد از آن دیگر چیزی در مورد جداول ضرب شنیده نمی شود، تا سال 1820 که آ.ل.کرِل (18) کتاب جداول حساب (19) را در برلن منتشر کرد و مقادیر

حاصل ضرب همه ی جفت عددهای صحیح بین 1 و 999 را داد. چندین ویرایش از این کتاب منتشر شد و تا روی کار آمدن ماشین های حساب جدید، یکی از ارزشمندترین وسایل کمکی در محاسبات بود. جداول تقسیم که مقادیر x/y را به ازای x<y به دست می دادند کمتر متداول بودند و در بزرگ ترین جداول از این نوع، مقادیر x و y چندان بزرگ تر از 100 نبودند. البته جداول گسترده ای برای معکوس ها وجود داشت.

اسماعیل هزارجریبى درریاضیدان

 esmaeil hezarjaribi in riazidan

رازهایی در مورد انشتن

در زمینه اسرار نبوغ انیشتن تا کنون کار های جالب توجهی انجام شده است که پاره ای از این کارها در زمان زندگی او و تعدادی در زمان بعد از مرگ او انجام گرفته است. برای مثال انجام انواع آمایشات مربوط به علکرد الکتریکی مغز وی (به وسیله کرفتن نوار مغزی ابتدایی) از این جمله محسوب می شوند.

اما بعد از مرگ وی شخصی به نام دکتر هاروی با عمل جراحی مغز وی را از جمجمه اش خارج و در محلی نگهداری کرد. هر چند این عمل به صورت مخفیانه و غیرقانونی انجام گرفت و بعدها مشکلات زیادی برای او به وجود اورد اما امکان مطالعات بعدی بر روی مغز انیشتن را امکان پذیر کرد.متن زیر ترجمه نوشته ایست که توسط دکتر مارین دیاموند به قلم تحریر درآمده و شرح یکی از این آزمایشات بر مغز انیشتن است:

هیجانِ کشف کردن، مسری است. یافته های جدید اغوا کننده و بدون توقف ما را راهنمایی می کنند. اما چه عاملی باعث شد من مطالعه بر روی نسبت glial cells به نورون را در مغز انیشتن آغاز کنم؟ جواب این مسئله را در یک گزاره ساده نمی توان یافت. بلکه بر پایه سال ها کار و مطالعه اثرات محیط بر اناتومی مغز بنا شده است.

بازسازی سری اتفاقاتی که منجر به یافتن تعداد نهایی سلول ها می شود یک کار سخت و طاقت فرسا بود اما با وجود تمام این سختی ها عوامل زیادی بودند که ما را در راه تحقق این هدف یاری کردند. که عبارتند از:

1- همکاری با یک پروفسور(gerhald von bonin) در حدود 25 سال پیش

2- نتایج یک تحقیق که نشان می داد در مغز موش هایی که در محیط غنی زندگی می کنند ، در مقایسه با مغز موش هایی که در محیط فقیرتر زندگی می کنند تعداد glial cells به ازای هر neuron بیشتر است.

3- عکسی از مجله science که جعبه ای مقوایی را نشان می داد که در داخل یک میز تعبیه شده بود و در درون ان مغز انیشتن نگهداری می شد.

4- در یک بعد از ظهر آرام که به نظر می رسید همه مشغول کاری باشند من آنقدر وقت آزاد داشتم که بتوانم در مورد مسائل بالا فکر کنم.

5- استفاده از فناوری های عالی و بررسی های آماری این ها همه باعث شد تا من به همان سادگی که که هم اکنون یک نفر می تواند محاسبه کند که 1+2+3+4 چند می شود تفاوت بین نسبت glial cells و neurons را در مغز انیشتن را در مقایسه با نمونه های گرفته شده از مغز چند فرد دیگر نیز قابل مقایسه است.

حال هر کدام از قسمت های معادله بالا را بیشتر شرح می دهم:

1- یک روز در آزمایشگاه مطالعاتی پروفسور von bonin این موضوع را بیان کرد که فکر می کنمinferior parietal cortex از prefrontal cortex توسعه بیشتری پیدا کرده است. و از انجا که شمار glial cells نسبت به neuron هم زمان با پیشرفت و بالا رفتن در درخت philogenetic افزایش می یابد. این طور در نظر گرفتیم که هر چه یک ناحیه توسعه یافته تر باشد باید نسبت glial cells به neurons هم بیشتر باشد.

سپس از مغزهای نگه داشته شده 11 مرد، یک سری نمونه به اندازه بلور شکر از prefrontal cortex و inferior parietal cortex سمت راست و چپ مغز برداشتیم. یعنی 44 نمونه،نسبت glial cells به neurons نشان داد که در prefrontal cortex تعداد glial cells به ازای هر neuron در مقایسه با inferior Parietal lob بیشتر است. به این ترتیب یک نسبتglial cellsبه neuron را بر اساس اطلاعات علمی به دست آوردیم.

2- در حدود دهه 1960 میلادی کارشناسان و متخصصان ازمایشگاه چوزف التمن در پوردو و ما، فهمیدیم در cerebral cortex از مغز موشهایی که در محیط زیست غنی زندگی می کنند تعداد glial cells به neurons” فعال “cortex در مقایسه با مغز موش هایی که در محیط فقیرتر زندگی می کنند بیشتر است. نورون های فعال cortex احتیاج به سلول های حمایتی glial cells دارند. و در ضمن باید توجه داشت که شمار نورون ها بعد از تولد زیاد نمی شوند در حالی که تعداد glial cells زیاد می شود.

3- تعدادی از دانشجویان عکس جعبه مغز انیشتین را از مجلهscience بریده و به دیوار ازمایشگاه نسب کردند زیر نویس مشخص می کرد که این مغزدر کانزاز نگه داری می شود.

4- یک روز که من در دفتر کار همسرم در UCLA نشسته بودم با خود فکر کردم که ایا می توان فقط4 قطعه ازمغز انیشتین که قابل مقایسه نمونه های خودم در ازمایشگاه باشد را بدست اورم.پس گوشی تلفن را برداشتم و با دانشگاه کانزاز( بخش ANOTAMY) تماس گرفتم و مطلع شدم که مغز انیشتین در اختیار tomas harvey درweston است . بعد از 3 سال مذاکرات تلفنی که هر 6 ماه 1 بار انجام می شد سرانجام من 4 قطعه لازم را دریافت کردم.

5- به کمک 1 تکنسین عالی و یک کارشناس آمار (یک دانشمند به ندرت به تنهایی کار می کند) ما متوجه شدیم که در مغز انیشتن و در هر 4 قطعه آزمایش شده در مقایسه با همان قطعات از مغز 11 مرد دیگر، تعداد glial cellبه neuron بیشتری وجود دارد و فقط در left parietal lob ان این نسبت به طور مشخصی بیشتر بود.اگر چه این تفاوت به طور غیر معمول بیشتر بود اما ما فقط یک انیشتن داشتیم که با 11 مرد دیگرمان مقایسه کنیم وگرنه اگر ما 11 انیشتن داشتیم این یافته قابل اعتمادتر می شد. به هر حال این مطالعه اولین قدم در این راه بود که تا بحال کسی بر نداشته بود.

تاریخچه پیدایش اعداد و شمارش



یکی از کهن‌ترین و در ضمن اساسی‌ترین مفهومها در ریاضیات، مفهوم عدد مثبت و درست ، یعنی مفهوم عدد طبیعی است و تا زمانی که انسان وجود دارد، از اهمیت این مفهوم چیزی کم نمی‌شود. مفهوم عدد هم ، همچون همه مفهوم‌های دیگر ریاضیات ، در جریان برخورد انسان با طبیعت و در جریان کار و فعالیت انسان برای زندگی اقوام گرفته است.

از زمانهای کهن تا سده نوزدهم میلادی ، بسیاری از نویسندگان ، اختراع عدد را به یک نابغه و فیلسوف بزرگ یا در جایی به جز قلمرو انسان نسبت می‌دادند. این جمله کرونیکر ، دانشمند بزرگ جبر مشهور است که: به جز عددهای طبیعی که ساخته ذهن بشر نیست، بقیه عددها را انسان آفریده است. برخلاف نظر کرونیکر عددهای طبیعی هم ، نتیجه‌ای از کار عملی و ذهنی انسان است.

منشا پیدایش عدد

نوشته‌های قدیمی ریاضی ، کم و بیش تا سده هیجدهم ، اختراع عدد را به عقل یک فیلسوف قدیمی یا فیثاغورس حکیم ، نابغه یونان باستان و غیره نسبت می‌دادند. از جمله ماگنیتسکی نویسنده نخستین کتابهای درسی در روسیه ، در کتاب خود به نام حساب از فیثاغورس به عنوان مخترع و پایه گذار این دانش نام می‌برد . در افسانه‌های زیبای یونانی باستان ، اختراع عدد درست به پرومته نسبت داده شده است.

مدرکهای پیدایش شمارش و عدد

به این ترتیب دانش ناچار است برای نتیجه گیری ، از مدرکهای غیر مستقیم استفاده کنند. پیش از همه باید از نژاد شناسی نام برد. زیرا با بررسی فرهنگهای ملتهایی که در دوران پیش از تاریخ به سر می‌برند، می‌توان درباره دوره‌های تکامل ملتهای دیگر هم داوری کرد. سرچشمه دیگر پژوهش ، زبان است که نه تنها وسیله بستگی انسانها به دیگر است، بلکه بازمانده‌ای از فعالیتهای معنوی قدمهای کهن هم باشد.

در زبان و در ویژگیهای دستوری آن ، آگاهیهای گرانبهایی نگهداری شده است که تا اندازه‌ای ، به روش شمردن مردم آن زمان ، و این که چگونه به شمارش امروزی رسیده‌ایم، راهنمایی می‌کند.با اینهمه ، آگاهیهایی که بوسیله جهانگردان در جریان سده‌های 18و 19 جمع‌آوری شده است، اهمیت زیادی درباره تاریخ دانش دارد و زمینه اصلی کار را برای ترسیم طرح تاریخی وپیدایش مفهوم عدد درست در اختیار ما می‌گذارد.

روشن شده است که بسیاری از قبیله‌ها ، می‌توانستند حساب کنند بدون این که نامهای ویژه ای برای عددها داشته باشند. بنابر آگاهیهایی که بوسیله ایاسماپار کاشف معروف قطب (1790-1855) به ما رسیده است، در آن زمان ، اسکیموها ، اگر بیش از سه فرزند داشتند، نمی‌توانستند آنها را بشمارند.

با وجود این ، اگر یکی از فرزندانشان غایب بود، متوجه می‌شدند. یعنی بدون این که برای هر کدام از آنها ، نشان ویژه جداگانه‌ای داشته باشند، می‌توانستند حساب آنها را نگه دارند.در این مرحله از تکامل ، عدد به خودی خود و به عنوان یک مفهوم مستقل درک نمی‌شود، بلکه همراه با سایر ویژگیها است و به کیفیت چیزهایی مربوط می‌شود که مجموعه را تشکیل داده‌اند.

طبیعی است، شمردن چیزها و مقایسه تعداد عضوهای مجموعه‌های مختلف ، کار دشواری است. آگاهیهای پراکنده‌ای که در نوشته‌های مولفان تمدنهای نخستین وجود دارد، این ادعا را ثابت می‌کند که عمل شمارش برای قومهای اولیه ، مساله بغرنجی بوده است که هر وقت به آن می‌پرداختند، برایشان بی‌اندازه خسته کننده و ملال‌آور بود.

نمونه‌های جالبی از پیدایش عدد در طول تاریخ ک.شتای نن جهانگرد و نژاد شناس ، نمونه جالبی در این باره نقل می‌کند. او حدود سالهای هشتاد سده نوزدهم ، در عمق جنگلهای آمازون ، به قبیله باکاایر برخورد که از نظر تکامل ، در سطح پایینی بودند.

او بارها از بومیان خواسته بود ده دانه بشمارند. آنها به کندی ، ولی درست ، تا شش دانه را می‌شمردند ولی برای شمردن دانه‌های هفتم و هشتم با ناراحتی متوقف می‌شدند، نشاط خود را از دست می‌دادند، هاج و واج به دور و بر خود نگاه می‌کردند، از دردسری که گرفتارشان کرده بود، غرغر می‌کردند سرانجام هم یا از پاسخ طفره می‌رفتند و یا پا به فرار می‌گذاشتند.میکلوخو- ماکلای ، درباره عدد شماری بومیان گینه نو می‌نویسد: بومیان روش جالبی برای شمردن دارند.

آنها انگشتان خود را یکی پس از دیگری می‌بندند و صدای معینی را تکرار می‌کنند وقتی به پنج می‌رسند، می‌گویند دست. بعد ، آغاز به بستن انگشتان دست دیگر خود می‌کنند... تا به دو دست برسند... و برای 15 یک پا و برای 20 دوپا. اگر لازم باشد باز هم بعد از آن را بشمارند، از انگشتان دست و پای دیگری استفاده می‌کنند. می‌بینیم، مهارت در شمردن مربوط به وجود نام ویژه‌ای برای عددها یا وجود نمادهایی برای رقمها نیست.شکل گرفتن عددها را باید از مرحله‌های بالای تکامل شمار دانست.

مدتها پیش از آن که نامهای ویژه‌ای برای عددها پیدا شود، برای بیان تعداد چیزها، نام هایی وجود داشت. معلوم شده است نزد برخی از قبیله‌های آفریقایی ، برای هر یک از حالتهای 3 گاو ، 3 درخت ، 3 جنگ و غیره نام ویژه ای دارند. یا برخی از قبیله های غرب کانادا که نامی برای عدد 3 ندارند، برای 3 چیز از نامهای استفاده می کنند.

تخه ، سه چیز ،تخانه ، سه برگ. بومیان فلوریدا برای 10 تخم مرغ می‌گویند نانگوآ و برای 10 سبد نا-بانارا. ولی بطور جداگانه برای عدد 10 (که به چیز مقید نباشد) از واژه نا استفاده نمی کنند و برای عدد 10 هیچ واژه ای ندارند.نویسنده ضد دوریگلند در این باره می گوید: مفهوم های عدد و شکل، از جایی جز جهان واقعی ، گرفته نشده است.

ده انگشت که انسان شمردن، یعنی نخستین عمل حساب را روی آنها یاد گرفت، همه چیز هست جز محصولی که زاییده اندیشه خالص باشد. برای شمردن، نه تنها باید چیزهایی داشته باشیم که آن را بشماریم. بلکه باید این استعداد را هم داشته باشیم که ضمن بررسی این چیزها ، هر ویژگی دیگری جز شمار را از آن جدا کنیم و این استعداد هم در نتیجه تکامل تاریخی طولانی که متکی بر تجربه باشد بدست می‌آید

اعداد تاکسی

زمانی که ریاضیدان انگلیسی هاردی برای عیادت ریاضیدان شهیر هند رامانوجان به بیمارستان رفته بود به این موضوع اشاره کرد که شماره تاکسی که به وسیله آن به بیمارستان آمده، عدد بی ربط و بی خاصیت 1729 بوده است . رامانوجان بلافاصله ضمن رد ادعای هاردی به او یادآور شد که اتفاقا 1729 بسیار جالب توجه است . خود ۱۷۲۹ عدد اول است. دو عدد ۱۷ و ۲۹ هر کدام عدد اول هستند. جمع چهار رقم تشکیل دهنده آن میشود ۱۹ که اول است.

جمع دو عدد اولیه و دو عدد آخری میشود ۸۱۱ که باز هم عدد اول است دو عدد ابتدایی(سمت چپ) اگر جمع شوند؛عدد ۸۲۹ میشود که باز هم عدد اول است. دو عدد اولیه اگر از هم دیگر کسر شوند؛عدد ۶۷ ساخته میشود که باز هم عدد اول است. سه عدد سازنده آن عدد اول است(۱و۷و ۲). عدد اول؛عددی است که فقط بر یک و خودش تقسیم میشود به نحوی که نتیجه تقسیم عددی کسری نباشد(خارج تقسیم نداشته باشد)

جمع عددی اعداد تشکیل دهنده ۱۷۲۹ یا:۱+۷+۲+۹=۱۹ است؛ عکس ۱۹ عدد ۹۱ است؛ اگر ۱۹*۹۱بشودنتیجه برابر ۱۷۲۹ میشود. این هم یکی دیگر از اختصاصات ۱۷۲۹ است که در هر عددی دیده نمیشود. عدد 1729 اولین عددی است که می توان آنرا به دو طریق به صورت حاصلجمع مکعبهای دو عدد مثبت نوشت :

12 به توان 3 به علاوه 1 به توان 3 و 10 به توان 3 به علاوه 9 به توان 3 هردو برابر 1729می باشند .(اولین مطلب موجود در رابطه با این خاصیت 1729 به کارهای بسی ریاضیدان فرانسوی قرن هفدهم باز می گردد.)

حال اگر کمی مانند ریاضیدانها عمل کنید باید به دنبال کوچکترین عددی بگردید که به سه طریق مختلف حاصلجمع مکعبهای دو عدد مثبت است این عدد87539319 می باشد که در سال 1957توسط لیچ کشف شد: 414 به توان 3 + 255 به توان 3 و 423 به توان 3+ 228 به توان 3 و 436 به توان 3 + 167 به توان 3 هر سه جوابشان برابر87539319 است . امروزه ریاضیدانان عددی را که به n طریق مختلف به صورت حاصلجمع مکعبهای دو عدد مثبت باشد ،n ــامین عدد تاکسی می نامند و آنرا با Taxicab نمایش می دهند.

جالبتر از همه اینکه ،هاردی و رایت ثابت کردند برای هر عدد طبیعی n ناکوچکتر از 1 ،n ــامین عدد تاکسی وجود دارد ! هرچند، چهارمین تا هشتمین اعداد تاکسی نیز کشف شده اند ولی تلاشها برای یافتن نهمین عدد تاکسی تاکنون نا کام مانده است . متاسفانه اطلاعات زیادی درباره اعداد تاکسی موجود نیست . در ضمن میتوان مسئله را از راههای دیگر نیز گسترش داد .

مثلا همانگونه که هاردی در ادامه داستان فوق از رامانو جان پرسید و او قادر به پاسخگویی نبود ، این پرسش را مطرح کنید: کوچکترین عددی که به دوطریق حاصلجمع توانهای چهارم دو عدد مثبت می باشد ،کدام است؟ این عدد توسط اویلر یافت شده است :635318657 حاصلجمع توان چهارم 59 و 158 همچنین توانهای چهارم 133 و 134 می باشد.