نوموگرافی و بازی با تصاویر

قدمت استفاده از فنون تصویری برای محاسبه و حل معادلات به دوران باستان می رسد. در زمان هیپارخوس (150 پیش از میلاد)، حل نموداری مثلث های کروی بسیار مورد علاقه بود. در قرون وسطی، ریاضیدانان مسلمان با استفاده از روش های هندسی به حل معادلات درجه ی چهارم پرداختند و در قرن هفدهم، ویلیام آوت رد از روش های نموداری برای حل مثلث های کروی استفاده کرد.

اما کلید کاربرد عمومی روش های نموداری برای حل معادلات جبری، هندسه ی تحلیلی بود که توسط رِنه دکارت در کتاب بحث در باب روش (1637) معرفی شد. نظریه ی نوموگرام ها عمدتاً بر هندسه ی تحلیلی متکی است.

در سال 1842، لئون لالان (2) متوجه شد که با تغییر مقیاس محورهای دکارت اغلب می توان نمودار معادلات دو متغیره را ساده کرد.

 گذشته از این، او فهمید که اگر این تغییر مقیاس بر اساس شرایط مینیمال مشخصی باشد، نمودار جدید اساساً معادل همتای دکارتی آن است. لالان نظریه ی جدید خود را «آنامورفوز هندسی» (3) نامید و سپس طی دهه ی 1880، ژ. ماسو (4) و شارل لالمان (5) این نظریه را پیش بردند.

این کارها فقط مقدمه بود. خالق اصلی نوموگرافی، موریس دُکانی (6)، ریاضیدان فرانسوی (1862-1938) بود. دُکانی اولین کسی بود که «نوموگرام» را توصیف کرد (1884) و سپس این نمودار را برای بسیاری از فرمول های مهندسی به کار برد.

 او در سال 1899 کتاب مبحث نوموگرافی را منتشر کرد که در آن نظریه های کلی و بسیاری از کاربردهای این موضوع را گردآوری کرد. از آن زمان، متن های زیادی درباره ی این موضوع منتشر شده است و نوموگرام های زیادی در نظریه های فنی مورد استفاده قرار گرفته است.

جالب است که محرک اصلی مطالعه ی نوموگرافی مسائل مربوط به ساختن راه آهن در فرانسه بود. به همین دلیل، اکثر کسانی که در قرن نوزدهم در بسط این موضوع نقش داشتند مهندس بودند. در واقع، هنوز هم نوموگرافی شاخه ای از ریاضیات کاربردی، با کاربردهایی در مهندسی، صنعت و علوم فیزیکی و طبیعی است.

نوشته شده توسط اسماعیل هزارجریبى در وبلاگ ریاضیدان.

راه حل کدام است

دیدگاه های نوین آموزش ریاضی بر اهمیت تفکر و استدلال ، شناخت مفاهیم ریاضی و چگونگی پردازش آنها و تاکید بر فراگیران به مثابه آحاد انسانی تاکید دارد. محققان در عرصه آموزش ریاضی میکوشند تا از منظر درون و برون ریاضی مقوله یاد دهی – یادگیری و حل مسئله را مورد مطالعه قرار دهند.

عدم آشنایی لازم با دانش ، آموزش ریاضی در کشور ، کمبود شدید نیروی متخصص با تحصیلات منظم در این رشته و ورود افراد غیر حرفه ای موجب شده است که این دانش در جایگاه مناسب خود قرار نگیرد و سرفصلهای غیر استاندارد و سلیقه ای بر دروس آموزش ریاضی حاکم و به تدریس کتابهای دبیرستانی در کلاسهای آموزش ریاضی بسنده شود.

بسیاری از فارغ التحصیلان دانشگاهی دوره های کارشناسی و بالاتر رشته‌های ریاضی که به رغم دانش نسبتا خوب ریاضی شان قادر به اداره کلاس درس و موفق در امر یاد دهی ریاضی نیستند و با آزمون و خطا تجربه لازم را بدست می آورند. در واقع باید اذعان کرد که ریاضی دانستن و برخورداری از دانش ریاضی یک مقوله است ، در حالی که تدریس ریاضیات مقوله ای دیگر. هرچند که این دو با یکدیگر در تعاملند.

در مقاله حاظر با طرح چند پرسش ، سعی شده است ؛ پاسخی برای آنها بیابم ؛ ولی اینکه آیا آن پاسخها درستند و شدنی ، خود پاسخی برای آن ندارم.ولی همین بس که ، با طرح این سؤالات ، پاره ای از مشکلات عمده ای که از آن به عنوان مشکلات درسی دانش آموز نام برده میشود آشکار میشود.

به نظر من با حل مشکلات مورد اشاره در این مقاله ، حل دیگر مشکلات امر آموزش ریاضی سهل خواهد بود.پیشنهادات ارئه شده در این مقاله مورد بررسی و نقد است. ادعا نمیکنم که تمامی آنها شدنی و قابل اجرایند ولی مدعی قابل تامل بودن آنها هستم.

ریاضیات ؛ راه حل کدام است؟

ریاضیات نقش گسترده ای در زندگی آینده افراد داراست ، ریاضیات قادر است با اثر گذاری بر شخصیت انسان آنها را در برابر مشکلات آینده زندگی مقاوم تر کند. مطالعه ریاضیات و تفکر در مسائل ریاضی انسان را خلاق و پویا کرده و قادر است از او شخصیتی بسازد که بهتر در مورد مسائل روزمره زندگی خود استلال و تفکر کند.

آیا ما به عنوان یک مدرس ریاضیـات تـوانسته ایم این بعد ریاضی را به دانش‌آموزان خود آموزش دهیم ؟

آیا توانسته ایم به او بفهمانیم که میتواند فکر کند و او قادر است استدلال کند؟

گـویا تنهـا تـدریس ریـاضیات شده است ارائـه تعاریف ، مثالـهـا و حـل تمرینات‌ موجود ‌کتاب و ... .

در ریاضیات دبیرستانی دانش آموز مایل است بداند که آنچه می خواند در کجای زندگی او کاربرد دارد ؟

آیا برای او پاسخی داریم؟ یا اینکه سؤال او و ما یکسان است !

چرا باید در کلاسهای خود به جبر ، ریاضی تدریس کنیم؟ چرا به جبر از آنها تمرین و پاسخ بخواهیم ؟

چرا او خود بدنبال یادگیری ریاضیات نیست و تنها این مائیم که با ترفندهای گوناگون او را مجبور به یادگیری و شاید حفظ کردن مفاهیم میکنیم.

چرا نباید متعلم داوطلبانه در فرایند یادگیری شرکت کند ؟

آیا راه کاری وجود دارد و یا راه کارها عملی هستند؟

در مقطع دبیرستان ، دانش آموز باید بر اهمیت ارتباط میان انتخابهای علمی و سایر انتخابهای دوران زندگی خود واقف شوند. این مسئله حیاتی است که مربیان ریاضی بکوشند تا باور دانش آموزان را نسبت به ارزش دانش ریاضی و کارامدی آن در جامعه تقویت ؛ و آنان را متقاعد سازند که توان و ظرفیت انجام فعالیتهای ریاضی را در حال و آینده دارند و به گونه ای پیوسته اطلاعات به روز و قابل اعتمادی را در عرصه مقولات زیر فراهم آورند.

۱ – چگونگی مرتبط ساختن آنچه دانش آموزان در ریاضی می آموزند با انتخابهای تحصیلی و شغلی آنان.

۲ – افـــزایش فرصتهایـی در زندگی دانش آموزان که در نتیجه مطالعات آینده در ریاضی برای آنان فراهم خواهد شد.

به عبارتی ، دوران دبیرستان میتواند فرصتهایی را برای تقویت و تثبیت مفاهیم و مهارتهای ریاضی دانش آموزان فراهم آورد که یادگیری های بعدی را در این عرصه ، به ویژه تحصیلات تخصصی دانشگاهی مرتبط با دانش و تجربه ، تسهیل سازد.

۳ – چـگونگی اتکا فـزاینده سایـر عرصه هـای علم و زندگی غیر ریاضیات و علوم فیزیکی بر دانش ریاضی.

۴ – لازمه فارغ التحصیلی فراگیر از دبیرستان ، یادگیری موفقیت آمیز بخشهایی ازریاضی است.

۵ – مشکلات مربوط به مرتبط ساختن ریاضیات متوسطه و دوران قبلـی ، ریاضـی آموزش عالی و دنیای واقعی کار و حرفه است.

بنابراین همه کسانی که بگونه ای در امر تعلیم و تربیت ریاضی دخیل هستند، اعم از والدین ، مربیان و برنامه ریزان ، باید با یاری یکدیگر و هم اندیشی های سودمند بکوشند تا طرز تلقی ها ، ادراک و تصمیم سازی های فراگیران را در عرصه ریاضی شکل دهی و هدایت کنند. از مهمتریـن هدفهای آموزشی ریاضی ، آن گونه که NCTM و سایـر پـژوهشگــران اعلام کرده اند این است که

دانش اندوزان بیاموزندکه برای ریاضیات ارزش قائل شوند و به کارایی آن در جریان زندگی و پرورش نیروی تفکر و استدلال و تحلیل واقف شوند. به علاوه ، نسبت به قابلیتها و ظرفیتهای خویش در انجام تکلیفهای ریاضی و موقعیتهای مختلف حل مسئله اعتماد و اطمینان یابند تا جایی که کار و تلاش در ریاضی برای آنان همچون عملی رضایت بخش و مسرت آفرین درآید ، نه عملی اضطراب زا و ملالت بار !

دیدگاه نوین آموزش ریاضی بر این مهم تاکید دارد که انتقال منفعلانه مفاهیم و مهارتهای ریاضی توسط معلمان ، یادگیری معنادار را برای فراگیران به همراه ندارد و هرگز موجب رشد و پویایی تفکر ریاضی نخواهد شد ، بلکه این فراگیران هستند که با مشارکت فعالشان در عرصه آموزش و یادگیری ریاضی بر مبنای دانش و تجربه‌های پیشین خود ، ریاضیات را امری قابل فهم و لذت بخش می سازد . تولید، تثبیت و تقویت تفکر ریاضی برای فراگیران هنگامی روی می دهد که با هدایت معلم تلاش کنند خود در ساختن مفاهیم ، مهارتهای جدید ریاضی و نیل به آنها مشارکت موثر داشته باشند.

به گفته نوربرت وینر : “ هنر ریاضیات ، هنر درک پرسشهای درست است و قطعه اصلی کار در ریاضیـات تخیل است و آنچه ایـن قطعه اصـلـی را به حـرکت در می آورد ، منطق می باشد و امکان استدلال منطقی زمانی پدید می آید که ما پرسشهای خود را درست مطرح کرده باشیم. “

این موضوع که چگونه فراگیران میتوانند دانش و تجربه های پیشین خود را در موقعیتهای جدید یادگیری به کار گیرند و با طرح پرسشهای مناسب در ساخت مفاهیم شرکت داشته باشد ، جای بحث و تالم بسیار دارد. در قلمروی کار ریاضی ، متخصصان با طرح نظریه هایی به این مهم پرداخته اند. اعجوبه آمریکایی که در سن هفده سالگی ار دانشگاه هاوارد دکترای ریاضی گرفت.ما می توانیم با برگـزاری همایشها و بـرنامه های علمی و استفاده از تجارب اساتید

دانشگاهی و متخصصان آموزش ریاضی و متبحران در علوم دیگر ( مانند علوم پایه ، علوم فنی و مهندسی و رشته ای علوم پزشکی و . . . ) این نظریات را بررسی کرد و بهترین راهکار را انتخاب کرده و در برنامه تدریس خود قرار دهیم.

چنانچه در بالا گفته شد دانش آموز نقش بیشتری در امر آموزش ریاضی دارد و معلم تنها هدایت و نظم دهی به فرایند یادگیری را بر عهده دارد از اینرو می توان ؛ در سطح پایین تری ( محیط دبیرستان یا مراکز آموزشی ) با دعوت از صاحبان مشاغل مختلف که از ریاضیات بطور مستقیم یا غیر مستقیم در حرفه خود استفاده میکنند ( مانند طراحان ، معماران ، مهندسان و متخصصان خط تولید کالا و . . . ) و حضور آنها در جمع دانش آموزان به این هدف تا اندکی دست یافت.در این جلسات دانش آموز قادر است برای برخی از پرسشهای خود پاسخی بیابد و هر پاسخ قدمی او را به ریاضیات نزدیکتر می کند.

مولفان کتب ریاضی دبیرستانی نیز میتوانند با گنجاندن مفاهیم کاربردی ریاضی به موازات بیان مطالب درسی ، معلم را در رسیدن به اهداف مورد نظر ، یاری کنند.دانش آموز ، کاربرد مطلب و مفهوم ریاضی را در یک امر عینی زندگی مشاهده میکند و او قادر است با این مثال عینی که خود آن را حل کرده است به آن مفهوم ریاضی نیز دست پیدا کند.

پیشنهـاد دیگری که در این راستا ارائه مــی شود تـالیف کـتـاب درسی با نام “کاربردهای ریاضی “ است که عمده مباحثی که باید در کتاب پیشنهادی به آن پرداخته شود عبارتند از:

الف ) کاربرد ریاضی در فیزیک

ب ) کاربرد ریاضی در شیمی

ج ) کاربرد ریاضی در صنعت

د ) کاربرد ریاضی در زندگی

با پرداختن به مباحث فوق در کتاب پیشنهاد شده قادر خواهیم بود ، دانش آموز را اندکی متوجه ریاضیات و کاربرد ریاضیات کنیم و به او یاد دهیم که دیگر کاربردهای ریاضی را ، خود بیابد.

می توانیم به دانش آموز غیر مستقیم بگوییم که “ مسائل ریاضی تنها تمرینات کتاب ریاضی نیست ؛ بلکه تمام پیرامون تو پر از مسائل ریاضی است . “دانش آموز یاد می گیرد مسئله طرح کند و برای یافتن پاسخ ، فکر کند و با یافتن پاسخش ، لحظاتی را شاد بگذراند.

به هر حال چنانچه اطلاعات عرضه شده به فراگیران در درس ریاضی به صورت قطعه های خبری مجزا ، ناپیوسته و گاه غیر مرتبط با هم دیده شوند ، انتظاری برای چنین مشارکتی نمی توان داشت. به علاوه باید متوجه باشیم که یادگیری در ریاضی با سرعتی یکسان و هماهنگ در دانش آموزان یک کلاس درس اتفاق نمی‌افتد.

از این رو ، یادگیری های انفعالی که به شتاب و به چگونگی یادگیری در افراد توجهی ندارد ، طبعا به بروز یادگیری های طوطی وار می انجامد. از سوی دیگر ، بسیاری از مشکلاتی که در نگرش به آموزش و یادگیری ریاضیات اتفاق می افتد ، به واقع ناشی از برداشتهای غلط در مورد طبیعت ریاضیات است. این مهم در ساختن باورهای فراگیر در عرصه کار و ریاضی تاثیری قابل تامل دارد.

معلمان و مدرسان درس ریاضی در کلاسهای درس خود همواره با دانش آموزانی مواجهند که در درک مفاهیم و تجزیه و تحلیل مسائل ریاضی مشکلات خاص خود را دارند ، و حتی گاهی آنان از دانستن ابتدایی ترین مفاهیم ریاضی نیز عاجزند.همچنین یکسان نبودن سطح درک ریاضی در کلاسها موجب ایجاد روشی ابداعی و غیر علمی از جانب مدرس ریاضی می شود که شاید مشکلات دانش آموزان ضعیف را چند برابر کند و گاهی اوقات ضربه ای غیر قابل جبران ( جسمی ، روانی و . . . ) به دانش آموز مستعد درک ریاضی وارد کند.

این روشهای ابداعی ، تنها بر اساس شخصیت مدرس شکل میگیرد و همواره متناوب و بینظم است .کلاس درسی که از چنین روشهای تدریسی استفاده می شود ، بازدهی خوبی نداشته و دانش آموزان حاظر در چنین کلاسی همواره با تنشهای روانی مواجهند.

روانشناسان علاقمند به آموزش ریاضی می کوشند تا دریابند چگونه عاملهای گوناگون بر تفکر و رفتار ریاضی فراگیران موثرند و این سؤال که ریاضی گونه اندیشیدن به چه معناست ، در مرکزیت این مطالعه قرار گرفته است.

چرا روانشناسان در فهم ما از اینکه مردم چگونه ریاضی را یاد می گیرند نقش فراوانی دارد؟ این پرسشی است که پاسخ آن هنوز برای بسیاری مبهم و ناشناخته است و به رغم برخی تلاشها در به کارگیری ابزار روان شناختی در تییین یادگیری و آموزش علوم از جمله ریاضیات ، می توان مدعی شد که هنوز اندکند کسانی که با نگرش روان شناختی در این عرصه تلاش می کنند.

عبارت روان شناسی یادگیری ریاضی نه تنها در میان مردم عادی ، بلکه در جمع معلمان و مربیان ریاضی ، به ویژه در جامعه ما ، چندان آشنایی نمی باشد. به علاوه، آنچه دانشجویان به ویژه در رشته های دبیری از مباحث روان شناختی می‌آموزند غالبا همچون مفاهیم کلی و بی ارتباط با سایر شاخه های معرفت بشری از جمله علوم تجربی و ریاضیات برایشان جلوه گر می شود.

از اینرو ارتباطی معنا‌دار بین دانسته های آنان در روان شناسی و تلاش در عرصه فراگیری ریاضی مشاهده نمی شود. مثلا دنشجویان در درس روان شناسی تربیتی با نظریه های مختلف یادگیری آشنا می شوند در حالیکه کمترین اطلاعی از کاربرد این الگوها در یادگیری و آموزش ریاضی و تدوین برنامه های درسی ندارند و نمیدانند که این الگو ها چگونه می تواند رفتار فراگیران را پیش بینی کند.

با برگزاری کلاسهای آموزشی کوتاه مدت ، قادریم مدرسان ریاضی را در ارائه روشهای برتر تدریس یاری کرد و با بهره گیری از دانش روان شناسان ، فرایند آموزش ریاضی را در این کلاسها بررسی و با ارائه راه کارهای علمی از افت شدید دانش آموزان جلوگیری کنیم.

اسکمپ می گوید: یادگیری و آموزش ریاضی از مقوله های روان شناختی است و ما پیشرفت قابل ملاحظه ای در ریاضی نخواهیم داشت ، مگر اینکه بدانیم ریاضی چگونه یاد گرفته می شود.

توسعه ماشین های محاسب(محاسبه)|ریاضی با لعم لذت|ریاضیدان-riazidan



اولین ماشین محاسب چرتکه بود دومین ماشین بی شک وسیله ای برای ضرب بود که توسط کاشف لگاریتم ساخته شد. ریاضیدانان این وسیله را به نام عجیب «استخوان های نپر» می شناسند، ولی صحیح تر آن است که «میله های نپر» نامیده شود. مخترع این وسیله آن را در کتابی که در سال 1617 منتشر ساخت و رابدولوژی نام داشت (از واژه ی یونانی rabdos به معنی «میله ها») تشریح کرده است.

کتاب رابدولوژی تیراژ قابل ملاحظه ای داشت و حتی بیش از لگاریتم های نپر مورد توجه قرار گرفت. استخوان های نپر در واقع جدول ضربی است که می توان آن را طوری آرایش داد که برای انجام فرایند ضرب فقط عمل جمع لازم باشد.

بعدها استخوان های نپر را روی استوانه های موازی قرار دادند تا برای عمل ضرب آسان تر بتوان آن ها را در محل های مورد نظر قرار داد. یک مجموعه از این استخوان ها، که گفته می شود متعلق به خود نپر بوده است، در موزه ی علوم ساوث کنزیگتون (1)، در انگلستان نگهداری می شود.

پیشرفت بعدی در زمینه ی محاسبه ی مکانیکی توسط ادموند گونتر (2)، همکار بریگز، حاصل شد. او در سال 1620 یک خط کش لگاریتمی به طول 60 سانتی متر درست کرد و با استفاده از یک جفت تقسیم کننده عمل ضرب را انجام داد. مثلاً او طول بین 1 و 2 را با طول بین 1 و 3 جمع می کرد و چون این مجموع برابر با طول بین 1 و 6 بود، حاصل ضرب 2 و 3 برابر 6 به دست می آمد.

ویلیام آوت رد (3) ایده ی گونتر را بسط داد و به جای تقسیم کننده ها از دو خط کش لگاریتمی استفاده کرد که یکی روی دیگری می لغزید. او این وسیله را در سال 1622 اختراع کرده بود، ولی تا ده سال بعد جایی آن را معرفی نکرد.

 حتی نیوتون هم وارد این بازی شد و پیشنهاد کرد که یک ریل برای خط کش لغزان تعبیه شود (1675)، ولی این ایده تا یک قرن بعد از آن - توسط جان رابرتسون (4) در سال 1775- عملی نشد. از سال 1900 به بعد، اصلاحات زیادی روی این خط کش انجام شد و سودمندی آن را در محاسبات پیچیده تر افزایش داد.

اولین ماشین محاسبی که می توان آن را نمونه ی اولیه ی ماشین های امروزی نامید، توسط ریاضیدان، فیلسوف و فیزیکدان فرانسوی، بِلِز پاسکال (5) در سال 1642 اختراع شد. این ماشین برای انجام جمع و تفریق طراحی شده بود. این ماشین جعبه ی مستطیلی بزرگی بود که روی آن شش چرخ قرار داشت.

چون ماشین پاسکال عمدتاً برای محاسبات مربوط به پول رایج انگلستان به کار می رفت، دو چرخ سمت راست برای پِنس و شیلینگ شماره گذاری شده بود و چرخ های دیگر از 1 تا 9 شماره گذاری شده بودند و برای پوند به کار می رفتند.

چرخ ها به استوانه های ثبّات متصل بودند و این استوانه ها نیز چرخ های عددی را فعال می کردند که از درون حفره هایی در بالای ماشین قابل خواندن بودند. تفریق به وسیله ی جمع انجام می شد، به این ترتیب که عدد مفروق به مفروق منه اضافه می شد، مثلاً،

لایب نیتز، یکی دیگر از نوابغ بزرگ جهان و یکی از کاشفان حساب دیفرانسیل و انتگرال، در سال 1671 ماشین محاسبی طراحی و در سال 1694 آن را تکمیل کرد.

یکی از مهم ترین نوآوری های لایب نیتز در این ماشین، چرخ لغزان بود. نوآوری های دیگر، ده بر یک با تأخیر، دوران در جهات مختلف برای جمع و تفریق، چفت هایی برای حفاظت در برابر دوران اضافی و مکانیسمی برای «پاک کردن» بود. اصلاحاتی که در سال 1820 توسط شارل توماس (6) (فرانسوی)، در سال 1875 توسط فرانک اس. بالدوین (7) (امریکایی)، و در سال 1878 توسط و.ت.اُدنر (8) (سوئدی) صورت گرفت، در حدود سال 1900 به بسط ویژگی های اساسی ماشین های حساب امروزی انجامید.

بلندپروازانه ترین پروژه ا ی که در قرن نوزدهم در مورد ماشین های محاسب انجام شد، پروژه ی چارلز بابیج (9) بود. بابیج از 1828 تا 1839 استاد ریاضیات و صاحب کرسی لوکاس در دانشگاه کیمبریج بود، ولی از این سمت استعفا داد تا روی پروژه ی «موتور تفاضلی» (10) خودکار کند. دولت 17,000پوند به این پروژه اختصاص داد و خود بابیج هم تقریباً دار و ندارش (6,000 پوند) را روی این کار گذاشت.

کار او ناموفق ماند و هیچ گاه نتوانست ماشین خود را تکمیل کند. با وجود این، بعد از این که در سال 1842 دولت تقاضای او را برای یک کمک مالی دیگر رد کرد، بابیج نه تنها ناامید نشد، بلکه ایده هایش را بزرگ تر کرد و کارش را روی آنچه خود «موتور تحلیلی» (11) می نامید آغاز کرد.

 این ماشین نیز هیچ گاه کامل نشد؛ اما پسرش، اچ.پی. بابیج در سال 1906 بخشی از این ماشین را کامل کرد و 25 مضرب را با 29 رقم دقت، به عنوان نمونه ای از کار ماشین منتشر کرد. علت شکست بابیج طراحی نادرست ماشین نبود، بلکه به گفته ی

پروفسور هوارد اچ. ایکن (12)، که نظریه ی ماشین حساب دنباله ی خودکار کنترل شده (13) (ASCC) دانشگاه هاروارد (1944) را بنیاد گذاشت، بابیج به دلیل «نداشتن ابزارهای ماشینی، مدارهای الکتریکی و آلیاژهای فلزی» که جزء لاینفک ماشین های جدید هستند شکست خورد. موتور بابیج را که گاهی «حماقت بابیج» نامیده اند، در واقع باید «بصیرت بابیج» نامید.

در سال 1888، ویلیام اس.باروز (14) با طراحی ماشینی که عددها را چاپ هم می کرد، بعد جدیدی به ماشین های محاسب داد. این ماشین شبیه به ماشینی بود که توسط هانری پوتن (15) در پاریس اختراع شد و در سال 1883 در انگلستان و در سال 1885 در ایالات متحده به عنوان اختراع ثبت شد. این ماشین مجموع نهایی و مجموع های فرعی را چاپ می کرد.

هرمان هولریث (16) وقتی که در استخدام اداره ی سرشماری ایالات متحد بود، در سال 1880 نمونه ی اولیه ای از ماشین های جدول بندی و تفکیک را ساخت. او ماشینی برای تفکیک و مرتب کردن کارت های سرشماری اختراع کرد.

 هر کارت سوراخی داشت و کارت ها به کمک رله های الکترومغناطیسی که توسط اتصال هایی از درون سوراخ کارت ها فعال می شدند توزیع می شد. اصل حاکم بر این ماشین را شرکت آی.بی.ام (IBM) (17) در کامپیوترهای اولیه ی خود (1929) به کار برد.

از این زمان به بعد، پیشرفت بسیار سریع بود. چون ماشین هایی که بر پایه ی رله کار می کردند نسبتاً کند بودند، در سال 1944 رله ها را با مکانیسم های الکترونیکی ای به شکل لامپ های خلأ جایگزین کردند. متأسفانه به علت تعداد زیاد لامپ های خلأ، ماشین ها بسیار حجیم بودند و گرمای حاصل از لامپ ها نیز، وقتی که تعداد زیادی از آن ها با هم کار می کردند، مشکلی جدی بود.

 در سال 1948، آزمایشگاه های بِل (18) اختراع ترانزیستور را اعلام کرد. این عنصر انقلاب ساز، کریستال کوچکی است که مانند لامپ خلأ عمل می کند؛ ولی بسیار کوچک تر از لامپ است، طول عمر بیشتری دارد، جریان بسیار کمتری مصرف می کند و در نتیجه، تقریباً گرما تولید نمی کند. در اغلب کامپیوترهای جدید (از 1961 به بعد) به جای لامپ خلأ از ترانزیستور استفاده شده و این تغییر باعث کارایی بیشتر شده است.

قدرت محاسباتی عظیم این ماشین های جدید عمدتاً ناشی از حافظه (قابلیت ذخیره سازی) و سرعت زیاد آن ها ست. توسعه ی این ماشین ها که هم زیر نظر دولت و هم از طریق پژوهش پیوسته در شرکت های خصوصی صورت می گیرد، چنان سریع است که هر ماشین حتی قبل از آن که تکمیل شود، توسط ماشین جدیدی از دور خارج می شود.

همه ی ماشین هایی که توصیف کردیم، جز خط کش لغزان، از نوع «ماشین های حساب دیجیتال» (19) هستند. خط کش لغزان متعلق به خانواده ی دیگری از ماشین هاست که «محاسب های متغیر پیوسته» (20) نامیده می شوند.

چون پاسخ عددی این ماشین ها از روی نمودار یا خط کش خوانده می شود، دقت آن ها بسیار کمتر از ماشین های حساب دیجیتال است که می توانند پاسخ را با تعداد زیادی از رقم های اعشاری نمایش دهند.

اختراع بعدی در این زمینه منجر به بسط «کامپیوترهای آنالوگ» (21) شده است که در آن ها قیاس بین مدارهای الکتریکی و مکانیسم ابزارهای مکانیکی، برای انتقال محاسبات به ماشین های الکترونیکی به کار می رود. این تحلیل گرهای تفاضلی جایگزین همتاهای مکانیکی خود در آزمایشگاه های محاسباتی جدید شده اند.

ماشین های محاسب دیگری نیز، معمولاً برای مصارف خاص، اختراع شده اند. یکی از این ها ماشین پیش بینی جزر و مد کلوین است (1872). این ماشین اساساً یک ترکیب گر همساز است که در آن یک منحنی از مولفه های همساز رسم می شود. جواب منحنی های جبری و جواب دستگاه های معلادلات خطی نیز مخترعان را به خود جلب کرده اند. هم ماشین های مکانیکی و هم ماشین های الکترونیکی برای حل این مسائل اختراع شده اند.

اسماعیل هزارجریبى ایم مطلب در وبلاگ ریاضی دان منتشر شده است . Riazidan.blog.ir

قاعده امتحان و تصحیح در ریاضی|ریاضی با طعم لذت|ریاضیدان-riazidan

قاعده ی امتحان و تصحیح روشی برای حل معادلات با تصحیح مقداری به مجهول است؛ اگر موقع امتحان، شرایط داده شده برآورده شوند، این مقدار به کمک تناسب ساده ای تغییرداده می شود. به عنوان مثال، برای حل x+x/4=30، هر مقدار مناسب برای x، مثلاً x=4، در نظر بگیرید.x+x/4 به جای آن که 30 باشد برابر 5 است. چون 5 را باید در 6 ضرب کردتا عدد مطلوب 30 را بدهد، جواب درست باید 6×4 یا 24 باشد.

این روش توسط مصریان قدیم (ح 1800 ق م) به کار می رفت؛ بسیاری از مسائلی که در پاپیروس های مصری دیده می شوند، ظاهراً به کمک امتحان و تصحیح حل شده اند. دیوفانتوس در کتاب خود (اریثمتیکا) از شیوه ی مشابهی برای حل دستگاه معادلات استفاده کرد.

دستنویس بخشالی (2)هندی (ح 600 م) شامل چند مسئله است که به کمک امتحان و تصحیح حل شده اند قدیمی ترین حساب عربی خوارزمی، قاعده ی امتحان و تصحیح را شرح داده است.

ریاضیدان ایتالیایی، فیبوناتچی(لئوناردوی پیزایی؛ ح 1200) رساله ای منتشر کرد که به مسائل جبری اختصاص داشت و همه به کمک امتحان و تصحیح حل شده بودند. حساب یوهان ویدمان (3) که در 1498 در لایپزینگ منتشر شد؛ نخستین کتابی است که در آن علامت های + و - دیده می شوند.

 این علامت ها در رابطه با مسائلی که با امتحان و تصحیح حل شده بودند، برای نشان دادن زیادتی یا نقصان مطرح شده بودند. نخستین ویرایش مجموعه ی حساب، هندسه، نسبت و تناسب (4)(1494) اثر راهب ایتالیایی، لوکاپاچولی، قاعده ی امتحان و تصحیح را مورد بحث قرار داده و به کار برده است. در انگلستان رابرت رکورد قاعده ی امتحان و تصحیح را در کتاب حساب خود، سرزمین هنرها (5)(1542) وارد کرد.

معرفی ریاضیات مالی|ریاضی با طعم لذت|ریاضی دان riazidan



با اعطای جایزه‌ی نوبل اقتصاد درسال 1990 میلادی به سه ریاضی‌دان ،چشم‌انداز نوینی در مقابل چشمان پژوهشگران گشوده شد وعملا شاخه‌ی جدید از علوم متولد شد:

نظریه‌ی مالیه « the theory of finance »

این نظریه تلاش می‌کند سازوکار حاکم بر بازار مالی و چگونگی کار‌آمد‌تر کردن آن را بررسی و مطالعه کند. این رشته‌ی نو‌ظهوراصولی را که بر بازارهای مالی حکم‌فرماست توضیح می‌‌دهد و آن‌ها را روزآمد می‌کند ودراین راستا بیش از هرچیز ازریاضیات بهره می‌گیرد. تعامل این دو رشته(ریاضیات ونظریه‌ی مالیه) تا بدان‌جا پیش رفته است که مسائل مالی اکنون در زمره‌ی پژوهش‌های راه‌بردی در ریاضیات است.

ریاضیات مالی در مرز مشترک دانش‌هایی نظیر ریاضیات،آمار،اقتصاد،علوم رایانه ،وحتی فیزیک با سرعتی فزاینده در حال پیش‌روی است.این رشته رابطه‌ی نزدیکی با رشته‌ی اقتصاد مالی دارد .در اقتصاد مالی بیشتر مباحث تئوری مطرح است در حالی‌که در این رشته به مدل‌های ریاضی وعددی در تجربه‌های عملی توجه می‌شود.

مثلا در حالی‌که یک اقتصاددان مالی دلایل زیر‌ساختی این موضوع را که چرا قیمت سهام شرکتی مقداری مشخص است بررسی می‌کند، ریاضی‌دان مالی قیمت سهام مذکور را همان‌طور که هست می‌پذیرد و سپس تلاش می‌کند به کمک محاسبات فرایندهای تصادفی ارزش متعارفی ازموجودی‌های مشتقه بدست ‌آورد.

تعامل با سایر رشته‌ها

ریاضیات مالی بر حسب کاربرد با رشته‌هایی نظیر مهندسی مالی ومحاسبات مالی هم‌پوشانی می‌کند. دو رشته‌ی اخیر بر کاربرد تمرکز بیشتری دارند در حالی‌که ریاضیات مالی به مدل‌سازی و حل معادلات دیفرانسیل با مشتق جزئی می‌پردازد.

center

بازار کار مربوط به رشته

بانک‌های سرمایه‌گذاری،بانک‌های تجاری،شرکت‌های بیمه،شرکت‌های خزانه‌داری و... از دستاورد‌های علمی این رشته بیش‌ترین استفاده را می‌برند.

در این رشته دو رویکرد اساسی وجود دارد: (1)معادلات دیفرانسیل جزئی (2)احتمال و فرایندهای تصادفی

این دو رویکرد مستقل، هردو، مجموعه‌ای از تکنیک‌های ریاضی هستند که کاربرد‌های متعددی در سرمایه‌گذاری می‌یابند: ارزش‌گذاری دارایی، مدیریت ریسک ومقابله با ریسک، بهینه سازی سهام، مدیریت سرمایه‌گذاری در موقعیت‌های پیچیده‌ی اقتصادی و....ازجمله‌ی این کاربردها هستند.

ریاضیات مالی به عنوان یک رشته‌ی دانشگاهی

دوره‌ی تحصیلات دانش‌گاهی مشتمل بر واحدهایی هم‌چون تحلیل ریسک و روی‌دادهای بعید، نرخ بهره، فرایند معاملات ارزی خارجی، عوارض تورم، گزینش حقیقی، تقسیم انرژی، کنترل و بهینه سازی تصادفی،وسایر مباحث ریاضی مربوط به مدل‌سازی مسائل مالی می‌باشد.

باتوجه به نیاز فزاینده‌ی جوامع به افراد کارآزموده وکلان‌نگر در حوزه‌های اقتصادی ،هم اکنون دانشگاه‌های متعددی در سراسر جهان در این رشته دانشجو می‌پذیرند.

وضعیت رشته در ایران

تاکنون در ایران رشته‌ی مستقلی با این عنوان وجود نداشت ولی قرار است به زودی مرکز تحصیلات تکمیلی زنجان در این رشته دانشجو بپذیرد.

تاریخچه‌ی کوتاهی بر ریاضیات مالی

1900 باچی لایر« Bachelire » ازمعادلات حرکت براونی برای فرآیند بنیادین استنتاج گزینش قیمت‌ها استفاده کرد.

1973 بلک «Black» وشولز«Scholes» فرمول قیمت‌گذاری انتخاب خود را که مبتنی برحل معادلات مشتق جزئی (PDE)بود منتشر کردند.

1980 هریسن «Harrison» و کریپس «Krips» روی‌کرد شرط بندی رادر سرمایه‌گذاری معرفی کردند.

1990 مارک‌ویتز«Harry Markwitz»، شارپ«Wililiam Sharpe» ، ومیلر«MertonMiller » ،سه نظریه پرداز مشهور ریاضیات مالی ، جایزه‌ی نوبل اقتصاد را دریافت کردند.

از1990 به بعد ریاضیات مالی که حاصل امتزاج اقتصاد وریاضیات بود به عنوان یک رشته‌ی مستقل دانشگاهی به حیات خود ادامه می‌دهد.

تاریخچه ضرب و تقسیم پر ریاضی دنیا



tebyan-zn.ir

این تصویر ممکن تحت حق ثبت م

از آن جا که چنین روش هایی ذاتاً وابسته به دستگاه شمارِ به کار گرفته شده هستند، دریافتن این که روال های اولیه کاملاً با روش های امروزی فرق داشته اند چندان تعجب برانگیز نیست.

چندین مسئله از پاپیروس رایند نشان می دهند که مصریان قبل از سال 1650 پیش از میلاد برای ضرب کردن از روشی استفاده می کردند که در آن اعداد به طور متوالی دو برابر می شدند و سپس مضرب های مناسب با هم جمع می شدند. چون برای «دو برابر کردن» عددی که به هیروگلیف نوشته شده باشد، کافی است نمادهای عدد مورد نظر بازنویسی شوند (و در صورت لزوم، واحد بزرگ تر بعدی جایگزین شود)، برای انجام این عمل ضرب، فقط نیاز به توانایی جمع کردن بوده است.

ردِّ گونه ای از این روش را می توان تا قرون وسطی در عمل «تضعیف و تنصیف» (دو برابر کردن و نصف کردن) دنبال کرد. ساده ترین توجیه این روال بر حسب نمایش دودویی عددهاست، گرچه مصریان با این نمایش آشنا نبوده اند.

بابلی ها (بیش از 2000 سال پیش از میلاد) ضرب را با رجوع به جدول های ضرب انجام می دادند که بی شک با استفاده از عمل جمع ساخته می شدند. جدول های معکوس ها (مقادیر 1/N به ازای عددهای مفروض N، که هر دو به شکل شصتگانی بیان می شدند) عمل تقسیم را به عمل ضرب تبدیل می کرد. جدول معکوس ها همچنین امکان کار با کسرها را، چنان که خواهیم دید، به شیوه ای بهتر از آنچه مصریان به کار می بردند فراهم می کرد.

مثال هایی از شیوه ی ضرب یونانیان توسط یکی از ریاضیدانان قرن پنجم میلادی، ائوتوسیوس آسکالونی (1)، در شرحی که بر اثر ارشمیدس، اندازه گیری دایره، نوشته به دست داده شده است. چون اعداد به شکل حرفی بیان می شدند، هر رقم مضروب، با شروع از بزرگ ترین رقم، به ترتیب در هر رقم مضروب علیه، باز هم با شروع از بزرگ ترین، ضرب می شد. آخرین مرحله، جمع کردن این مقادیر بود. بنابراین، پایه ی روش ضرب یونانیان کاملاً شبیه روش امروزی ما بوده است.

اگر درست باشد که یونانیان برای محاسبه نیازی به چرتکه نداشته اند، می بایست حسابگران متبحری بوده باشند که جدول های جمع و ضرب را به خوبی به خاطر می سپرده اند (این جدول ها، به دلیل استفاده از تعداد زیادی نماد برای نوشتن عددها، بسیار بزرگ تر از جدول های امروزی بوده اند). البته باید به خاطر داشت که شهروندان عادی یا حتی کاسبکارها توانایی انجام چنین عملیاتی را نداشتند.

دستگاه عددنویسی هندی – عربی، با اصل ارزش مکانی و با صفر، حدود اواخر قرن سیزدهم میلادی شروع به تسخیر اروپا کرد. حسابدانان اولیه که سادگی این دستگاه را دریافته بودند، به ابداع روش هایی برای ضرب و تقسیم عددها پرداختند. هندیان هم تجربیاتی در مورد این مسئله داشتند، ولی عرفان رازآلود آن ها و شیوه ی ثبت نامفهوم نتایج به شعر، درک و پذیرش عمومی روش های آن ها را به تأخیر انداخت.

در واقع، اواخر قرن پانزدهم بود که حساب به آرامی شکلی نوین به خود گرفت. کتاب نیکوماخوس گراسایی (2) به نام حساب مقدماتی (3) (حدود سال 100 پس از میلاد) جدول ضربی به دست داد که تا 10×10 پیش می رفت، ولی قاعده ای برای ضرب و تقسیم در بر نداشت. کتاب حساب (4) فیبوناتچی (5) (1202) از لحاظ استفاده از عددهای هندی – عربی قابل توجه بود، ولی چیزی به هنر محاسبه نیفزود.

نخستین اثر چاپ شده ی حساب در سال 1478 در ترویزو (6)، ایتالیا، منتشر شد. ایتالیایی ها که الگوی هندی ها را پیشِ رو داشتند، به ابداع طرح هایی برای ضرب و تقسیم علاقه مند شدند. لوکا پاچولی (7) برخی از این روش ها را در کتابش به نام رساله ی جامع در حساب، هندسه، نسبت ها و تناسب (8) که معمولاً با عنوان رساله (9) به آن اشاره می شود و در سال 1494 منتشر شد، شرح داده است. او هشت شکل مختلف ضرب را معرفی می کند که بعضی از آن ها نام هایی عجیب دارند، مثل کاستلوچو (10) («به روش قلعه ی کوچک») و گراتیکولا (11) یا جلوشا (12) («ضرب مشبک»). نام «ضرب مشبک» از نرده هایی گرفته شده است که در پنجره های خانه های ونیز کار می گذاشتند تا ساکنان خانه از نگاه کنجکاو مردم در امان باشند.

به همین ترتیب، طرح هایی برای تقسیم ابداع شد و چهار تا از این طرح ها را پاچولی پیشنهاد کرد. دستگاهی که بیشتر مورد توجه قرار گرفت، روش «گالی» (13) نامیده می شد، هم به این دلیل که در شکل نهایی اش، شبیه این کشتی بود و هم به این دلیل که این روش را سریع ترین روش می دانستند و گالی هم سریع ترین قایق بود. در این روش تقسیم، از روش «چرکنویس» (14) برای نوشتن کار استفاده می شد.

شیوه‌ ای که امروزه در تقسیم طولانی به کار می بریم به تدریج بعد از روی کار آمدن اعداد هندی - عربی بسط پیدا کرد. در پایان قرن هفدهم، روش جدید به خوبی بسط یافته بود و روش گالی روشی قدیمی محسوب می شد.

عجیب به نظر می رسد که سال های متمادی، جز در مورد بابلی ها که قبلاً ذکر شد، ظاهراً از جداول ضرب به عنوان وسیله ای کمکی در محاسبات استفاده نمی شده است. بوئتیوس (15) (480-524م)، در کتابش به نام بنیادهای حساب (16) جدول کوچک نیکوماخوس را سر زبان ها انداخت، ولی آن را بسط نداد.

در آثار اولیه ی حساب تجاری ایتالیا، اغلب جداولی شامل حاصل ضرب اعداد اول تا 47×47 و گاهی تا 97×97 داده می شد. ظاهراً اولین جدول بزرگ ضرب در مونیخ در سال 1610 توسط هروارت فون هوهنبرگ (17) منتشر شد. ولی بعد از آن دیگر چیزی در مورد جداول ضرب شنیده نمی شود، تا سال 1820 که آ.ل.کرِل (18) کتاب جداول حساب (19) را در برلن منتشر کرد و مقادیر

حاصل ضرب همه ی جفت عددهای صحیح بین 1 و 999 را داد. چندین ویرایش از این کتاب منتشر شد و تا روی کار آمدن ماشین های حساب جدید، یکی از ارزشمندترین وسایل کمکی در محاسبات بود. جداول تقسیم که مقادیر x/y را به ازای x<y به دست می دادند کمتر متداول بودند و در بزرگ ترین جداول از این نوع، مقادیر x و y چندان بزرگ تر از 100 نبودند. البته جداول گسترده ای برای معکوس ها وجود داشت.

اسماعیل هزارجریبى درریاضیدان

 esmaeil hezarjaribi in riazidan

ترفند خاموش کردن ماشین حساب هایی که به صورت اتوماتیک خاموش ننی شوند یا دکمه off آنها خراب شده|ریاضی دان-riazidan/ریاضی با طعم لذت

این ترفند بر روی بسیاری از ماشین حساب های قدیمی و جدید قابل استفاده است. به ویژه ماشین حساب های مدرسه ای. مخصوصأ ماشین حساب هایی که دکمه OFF برای خاموش کردن مستقیم ماشین حساب دارند و اتوماتیک خاموش نمیشود. به ویژه اگر به فرض دکمه OFF ماشین حساب خراب شده باشد با این ترفند میتوانید آن را بدون نیاز به این دکمه خاموش کنید.

برای این کار ، پس از روشن کردن ماشین حساب ، کافی است دکمه های 2 و 3 را همزمان نگه داشته ، سپس دکمه ON را بزنید.

خواهید دید که ماشین حساب خاموش میشود! این کار را با نگه داشتن دکمه های 5 و 6 نیز میتوانید انجام دهید.

اسماعیل هزارجریبى

اصول هندسه اقلیدسی|ریاضی دان-riazidan/ریاضی با طعم لذت

نیکلای ایوانویچ لباچفسکی (Lobachevsky, Nikolay Ivanovich) از جمله اولین کسانی بود که قواعد هندسه اقلیدسی را که بیش از 2000 سال بر علوم مختلف ریاضی و فیزیک حاکم بود درهم شکست. کسی باورش نمی شد هنگامی که اروپا مرکز علم بود شخصی در گوشه ای از روسیه بتواند پایه های هندسه اقلیدسی را به لرزه در بیاورد و پایه های علم در قرن نوزدهم را پی ریزی کند.

خیال نداریم راجع به خود او صحبت کنیم بلکه می خواهیم بطور مختصر بیان کنیم که او چه کرد. در میان اصول هندسه اقلیدسی - که راجع به آنها در آینده صحبت خواهیم کرد - اصلی وجود دارد به اینصورت : "از هر نقطه خارج یک خط نمی توان بیش از یک خط موازی - در همان صفحه ای که خط و نقطه در آن قرار دارند - به موازات آن خط رسم کرد".

در طول سالها این اصل اقلیدس مشکل بزرگی برای ریاضی دانان بود. چرا که ظاهری شبیه به قضیه داشت تا اصل. مقایسه کنید آنرا با این اصل اقلیدس که می گوید بین هر دو نقطه می توان یک خط راست کشید و یا اینکه همه زوایای قائمه با هم برابر هستند.

حقیقت آن است که بسیاری از ریاضی دانان سعی کردند که این اصل اقلیدس را اثبات کنند اما متاسفانه هرگز این امر ممکن نشد. حتی خیام در برخی مقالات خود سعی در اثبات این اصل کرد اما او نیز همانند سایرین به نتیجه نرسید.

لباچفسکی (1792 - 1856) نیز همانند بسیاری از دانشمندان علوم ریاضی سعی در اثبات این اصل کرد و هنگامی که به نتیجه مطلوب نرسید نزد خود به این فکر فرو رفت که این چه هندسه ای است که بر پایه چنین اصل بی اعتباری استوار شده است. اما لباچفسکی در کوشش بعدی خود سعی کرد تا رابطه میان هندسه و دنیای واقعی را پیدا کند.

او معتقد بود اگر نتوانیم از سایر اصول هندسه اقلیدسی این اصل را ثابت کنیم باید به فکر مجموعه اصول دیگری برای هندسه باشیم. اصولی که در دنیای واقعی حضور دارند. او پس از بررسی های بسیار چنین بیان کرد :

"از هر نقطه خارج یک خط می توان لااقل دو خط در همان صفحه به موازات خط رسم کرد"

هر چند پس از این فرض بنظر می رسید که وی در ادامه به تناقض های بسیاری خواهد رسید اما او توانست بر اساس همین فرض و مفروضات قبلی اقلیدس به مجموعه جدید از اصول هندسی برسد که حاوی هیچگونه تناقضی نباشد. او پایه های هندسه ای را بنا نهاد که بعدها کمک بسیار زیادی به فیزیک و مکانیک غیر نیوتنی نمود.

اسماعیل هزارجریبى

اندیشه بزرگان ریاضی|ریاضی دان-riazidan/ریاضی با طعم لذت

جورج پولیا:

ریاضیات عبارت است از اثبات بدیهی ترین چیز به نابدیهی ترین روش ممکن.

پواسون:

زندگانی تنها به این درد می خورد که انسان به دو کار مشغول گردد:

اول:

ریاضی بخواند، دوم: ریاضی درس بدهد.

کیلی:

در هر چیز از جمله یک نظریه ریاضی زیبایی را میتوان درک کرد اما نمی توان توضیح داد.

ایمانوئل کانت:

علم ریاضی درخشان ترین مثال برای این واقعیت است که چگونه استدلال محض دامنه تاثیر گذاریش را بدون کمک تجربه گسترش می دهد.

پیر فرما:

و شاید آیندگان از اینکه نشان داده ام قدیمی ها همه چیز را نمی دانستند، سپاسگزار من باشند.

جان لاک:

اثبات ریاضی مانند الماس قاطع و شفاف است، و با چیزی جز استدلال دقیق نمی توان به آن رسید.

دمورگن:

نیروی محرکه ابداع ریاضی استدلال نیست، تخیل است.

د.یا. سترویک:

باید به یاد داشته باشید که مفهوم های ریاضی نتیجه ای از کار آزاد ذهن نیستند بلکه انعکاسی از جهان واقعی و عینی دور وبر ما هستند که البته اغلب به صورت کاملا انتزاعی طرح می شود.

ب.فلدلیوم:

هر کشف تازه ای که در علوم طبیعی و صنعت رخ میدهد تنها از راه به کار بردن نتیجه گیری های جدید در عمل و یا زنده کردن نظریه های فراموش شده ریاضی است به این ترتیب نظریه های ریاضی از قبل راه پیشرفت علم وصنعت را پیش بینی می کنند.

هیلبرت:

با وجود اهمیتی که کاربرد ریاضیات دارد اما این کار نباید ملاک ارزش گذاری آن باشد.

جینز:

به نظر میرسد معمار بزرگ جهان ریاضیدان است.

برتراند راسل:

ریاضیات هیچ حقیقتی ندارد اما بالاترین زیبایی را داراست . یک زیبایی سرد و جدی، درست مانند یک تندیس ، به طور شگفت انگیزی محض ، و توانا در نهایت جدیت، به طوری که تنها بزرگترین هنرمندان می توانند این گونه باشند.

گاوس:

ریاضیات حاکم علوم است و نظریه اعداد ملکه ریاضیات.

فیثاغورس:

بدون ریاضیات شاید هنر و ادبیات داشته باشیم ولی تکنولوژی و صنعت هرگز چیزی در جهان وجود ندارد که با عدد قابل بیان نباشد.

فیثاغورس:

به کمک اعداد می توان زندگی و پیشامد های آن را پیش بینی کرد.

هانری پوانکاره:

دانشمند، طبیعت را به خاطر فایده اش مطالعه نمی کند، آن را برای این مطالعه می کند که از آن لذت می برد و چون طبیعت زیباست از آن لذت می برد. اگر طبیعت زیبا نبود، ارزش شناختن نداشت و اگر طبیعت ارزش شناختن نداشت، زندگی هم ارزش زیستن نداشت . البته، من در اینجا از آن گونه زیبایی که حواس را متأثر می کند، یعنی از زیبایی اوصاف و ظواهر، سخن نمی گویم؛ نه به این جهت که این زیبایی ها را دست کم بگیرم، نه چنین نیست، اما این زیبایی ربطی به علوم ندارد، منظورم زیبایی ژرف تری است که از نظم هماهنگ اجزا بوجود می آید و تنها هوش ناب قادر به درک آن است.

فیثاغورس:

به کمک اعداد می توان زندگی و پیشامد های آن را پیش بینی کرد.

گئورگ لیختن برگ:

آنچه شما را به کشف کردن وا داشته است، کوره راهی در شما می گشاید که، باز هم، هر وقت به چنین ضرورتی برخورد کنید میتوانید از ان استفاده کنید.

امانوئل کانت:

هرگونه معرفت انسانی ازتفکر و تامل آغاز می شود، از آنها به مفهم می رسد و سرانجام، به اندیشه ختم می شود.

ایای شور:

استدلا ل غیر ریاضی نقش اساسی در استدلال های ریاضی دارد.

دکارت:

هر راه حلی که برای مساله ای پیدا می کنم به عنوان سر مشق به من کمک می کند تا مساله های دیگر را هم بهنتیجه برسانم.

دیوید هیلبرت:

اعتقاد به قابل حل بودن هر مساله ریاضی یک عامل محرک قوی برای کسی است که روی آن کار می کند.

در درون ما همیشه صدایی طنین انداز است که مساله ای پیش رو است برای حل آن تلاشت را به کار ببند.

شما می توانید آن را با استدلال روشنی بیابید.

در ریاضیات احساس عجز و ناامیدی جایی ندارد.

پاسکال:

انسان تنها یک نی است، شکننده ترین در طبیعت؛ اما یک نی اندیشمند، لازم نیست که تمام جهان مسلح شود تا او را در هم شکند، یک بخار یک قطره آب برای کشتن او کافی است. اما هنگامی که جهان او را در هم می‌شکند، انسان باز هم والاتر از آن چیزی است که او را می‌کشد،  زیرا او می‌داند که می‌میرد و برتریی که جهان بر او دارد،  جهان از آن هیچ نمی‌داند.

پوانکاره:

نام دانشمند به خصوص ریاضیدان را باید به کسی داد که در کار خود به احساس یک هنرمند برسد و به اندازه یک هنرمند از محصول کار خود لذت ببرد.

نیوتن:

نمی‌دانم که در چشم جهان چگونه بوده ام. ولی در چشم خودم به نظر می‌رسد تنها همچون کودکی بازی کنان برکرانه دریا بوده ام و خود را با گهگاه یافتن ریگی نرم تر یا صدفی زیباتر از معمول سرگرم کرده ام در حالی که اقیانوس عظیم حقیقت نامکشوف در پیش روی من گسترده است.

ویلیام دبلیو سایر:

امروزه شهرت ریاضی شبیه شهرت خودروی سواری در 50 سال پیش است در آن موقع تصور عمومی بر آن بود که خودروها گران قیمت وخطرناکند وهیچ کس به جز یک مرد ثروتمند توانایی داشتن یک خودرو راندارد یاهیچ کس به جزیک راننده حرفه ای نمی تواند رانندگی کند به همین ترتیب هنوز باورعمومی ان است که ریاضی برای افراد استثنایی ،برای اجتماع نخبگان وبرای تعداد اندکی است. الان زمان آن رسیده است که کسی برای ریاضی همان کار را بکند که فورد با ساختن مدل تی برای خودروهای سواری انجام داد و آنها رابه تولید انبوه رساند.

تاریخچه پیدایش اعداد و شمارش



یکی از کهن‌ترین و در ضمن اساسی‌ترین مفهومها در ریاضیات، مفهوم عدد مثبت و درست ، یعنی مفهوم عدد طبیعی است و تا زمانی که انسان وجود دارد، از اهمیت این مفهوم چیزی کم نمی‌شود. مفهوم عدد هم ، همچون همه مفهوم‌های دیگر ریاضیات ، در جریان برخورد انسان با طبیعت و در جریان کار و فعالیت انسان برای زندگی اقوام گرفته است.

از زمانهای کهن تا سده نوزدهم میلادی ، بسیاری از نویسندگان ، اختراع عدد را به یک نابغه و فیلسوف بزرگ یا در جایی به جز قلمرو انسان نسبت می‌دادند. این جمله کرونیکر ، دانشمند بزرگ جبر مشهور است که: به جز عددهای طبیعی که ساخته ذهن بشر نیست، بقیه عددها را انسان آفریده است. برخلاف نظر کرونیکر عددهای طبیعی هم ، نتیجه‌ای از کار عملی و ذهنی انسان است.

منشا پیدایش عدد

نوشته‌های قدیمی ریاضی ، کم و بیش تا سده هیجدهم ، اختراع عدد را به عقل یک فیلسوف قدیمی یا فیثاغورس حکیم ، نابغه یونان باستان و غیره نسبت می‌دادند. از جمله ماگنیتسکی نویسنده نخستین کتابهای درسی در روسیه ، در کتاب خود به نام حساب از فیثاغورس به عنوان مخترع و پایه گذار این دانش نام می‌برد . در افسانه‌های زیبای یونانی باستان ، اختراع عدد درست به پرومته نسبت داده شده است.

مدرکهای پیدایش شمارش و عدد

به این ترتیب دانش ناچار است برای نتیجه گیری ، از مدرکهای غیر مستقیم استفاده کنند. پیش از همه باید از نژاد شناسی نام برد. زیرا با بررسی فرهنگهای ملتهایی که در دوران پیش از تاریخ به سر می‌برند، می‌توان درباره دوره‌های تکامل ملتهای دیگر هم داوری کرد. سرچشمه دیگر پژوهش ، زبان است که نه تنها وسیله بستگی انسانها به دیگر است، بلکه بازمانده‌ای از فعالیتهای معنوی قدمهای کهن هم باشد.

در زبان و در ویژگیهای دستوری آن ، آگاهیهای گرانبهایی نگهداری شده است که تا اندازه‌ای ، به روش شمردن مردم آن زمان ، و این که چگونه به شمارش امروزی رسیده‌ایم، راهنمایی می‌کند.با اینهمه ، آگاهیهایی که بوسیله جهانگردان در جریان سده‌های 18و 19 جمع‌آوری شده است، اهمیت زیادی درباره تاریخ دانش دارد و زمینه اصلی کار را برای ترسیم طرح تاریخی وپیدایش مفهوم عدد درست در اختیار ما می‌گذارد.

روشن شده است که بسیاری از قبیله‌ها ، می‌توانستند حساب کنند بدون این که نامهای ویژه ای برای عددها داشته باشند. بنابر آگاهیهایی که بوسیله ایاسماپار کاشف معروف قطب (1790-1855) به ما رسیده است، در آن زمان ، اسکیموها ، اگر بیش از سه فرزند داشتند، نمی‌توانستند آنها را بشمارند.

با وجود این ، اگر یکی از فرزندانشان غایب بود، متوجه می‌شدند. یعنی بدون این که برای هر کدام از آنها ، نشان ویژه جداگانه‌ای داشته باشند، می‌توانستند حساب آنها را نگه دارند.در این مرحله از تکامل ، عدد به خودی خود و به عنوان یک مفهوم مستقل درک نمی‌شود، بلکه همراه با سایر ویژگیها است و به کیفیت چیزهایی مربوط می‌شود که مجموعه را تشکیل داده‌اند.

طبیعی است، شمردن چیزها و مقایسه تعداد عضوهای مجموعه‌های مختلف ، کار دشواری است. آگاهیهای پراکنده‌ای که در نوشته‌های مولفان تمدنهای نخستین وجود دارد، این ادعا را ثابت می‌کند که عمل شمارش برای قومهای اولیه ، مساله بغرنجی بوده است که هر وقت به آن می‌پرداختند، برایشان بی‌اندازه خسته کننده و ملال‌آور بود.

نمونه‌های جالبی از پیدایش عدد در طول تاریخ ک.شتای نن جهانگرد و نژاد شناس ، نمونه جالبی در این باره نقل می‌کند. او حدود سالهای هشتاد سده نوزدهم ، در عمق جنگلهای آمازون ، به قبیله باکاایر برخورد که از نظر تکامل ، در سطح پایینی بودند.

او بارها از بومیان خواسته بود ده دانه بشمارند. آنها به کندی ، ولی درست ، تا شش دانه را می‌شمردند ولی برای شمردن دانه‌های هفتم و هشتم با ناراحتی متوقف می‌شدند، نشاط خود را از دست می‌دادند، هاج و واج به دور و بر خود نگاه می‌کردند، از دردسری که گرفتارشان کرده بود، غرغر می‌کردند سرانجام هم یا از پاسخ طفره می‌رفتند و یا پا به فرار می‌گذاشتند.میکلوخو- ماکلای ، درباره عدد شماری بومیان گینه نو می‌نویسد: بومیان روش جالبی برای شمردن دارند.

آنها انگشتان خود را یکی پس از دیگری می‌بندند و صدای معینی را تکرار می‌کنند وقتی به پنج می‌رسند، می‌گویند دست. بعد ، آغاز به بستن انگشتان دست دیگر خود می‌کنند... تا به دو دست برسند... و برای 15 یک پا و برای 20 دوپا. اگر لازم باشد باز هم بعد از آن را بشمارند، از انگشتان دست و پای دیگری استفاده می‌کنند. می‌بینیم، مهارت در شمردن مربوط به وجود نام ویژه‌ای برای عددها یا وجود نمادهایی برای رقمها نیست.شکل گرفتن عددها را باید از مرحله‌های بالای تکامل شمار دانست.

مدتها پیش از آن که نامهای ویژه‌ای برای عددها پیدا شود، برای بیان تعداد چیزها، نام هایی وجود داشت. معلوم شده است نزد برخی از قبیله‌های آفریقایی ، برای هر یک از حالتهای 3 گاو ، 3 درخت ، 3 جنگ و غیره نام ویژه ای دارند. یا برخی از قبیله های غرب کانادا که نامی برای عدد 3 ندارند، برای 3 چیز از نامهای استفاده می کنند.

تخه ، سه چیز ،تخانه ، سه برگ. بومیان فلوریدا برای 10 تخم مرغ می‌گویند نانگوآ و برای 10 سبد نا-بانارا. ولی بطور جداگانه برای عدد 10 (که به چیز مقید نباشد) از واژه نا استفاده نمی کنند و برای عدد 10 هیچ واژه ای ندارند.نویسنده ضد دوریگلند در این باره می گوید: مفهوم های عدد و شکل، از جایی جز جهان واقعی ، گرفته نشده است.

ده انگشت که انسان شمردن، یعنی نخستین عمل حساب را روی آنها یاد گرفت، همه چیز هست جز محصولی که زاییده اندیشه خالص باشد. برای شمردن، نه تنها باید چیزهایی داشته باشیم که آن را بشماریم. بلکه باید این استعداد را هم داشته باشیم که ضمن بررسی این چیزها ، هر ویژگی دیگری جز شمار را از آن جدا کنیم و این استعداد هم در نتیجه تکامل تاریخی طولانی که متکی بر تجربه باشد بدست می‌آید

اعداد تاکسی

زمانی که ریاضیدان انگلیسی هاردی برای عیادت ریاضیدان شهیر هند رامانوجان به بیمارستان رفته بود به این موضوع اشاره کرد که شماره تاکسی که به وسیله آن به بیمارستان آمده، عدد بی ربط و بی خاصیت 1729 بوده است . رامانوجان بلافاصله ضمن رد ادعای هاردی به او یادآور شد که اتفاقا 1729 بسیار جالب توجه است . خود ۱۷۲۹ عدد اول است. دو عدد ۱۷ و ۲۹ هر کدام عدد اول هستند. جمع چهار رقم تشکیل دهنده آن میشود ۱۹ که اول است.

جمع دو عدد اولیه و دو عدد آخری میشود ۸۱۱ که باز هم عدد اول است دو عدد ابتدایی(سمت چپ) اگر جمع شوند؛عدد ۸۲۹ میشود که باز هم عدد اول است. دو عدد اولیه اگر از هم دیگر کسر شوند؛عدد ۶۷ ساخته میشود که باز هم عدد اول است. سه عدد سازنده آن عدد اول است(۱و۷و ۲). عدد اول؛عددی است که فقط بر یک و خودش تقسیم میشود به نحوی که نتیجه تقسیم عددی کسری نباشد(خارج تقسیم نداشته باشد)

جمع عددی اعداد تشکیل دهنده ۱۷۲۹ یا:۱+۷+۲+۹=۱۹ است؛ عکس ۱۹ عدد ۹۱ است؛ اگر ۱۹*۹۱بشودنتیجه برابر ۱۷۲۹ میشود. این هم یکی دیگر از اختصاصات ۱۷۲۹ است که در هر عددی دیده نمیشود. عدد 1729 اولین عددی است که می توان آنرا به دو طریق به صورت حاصلجمع مکعبهای دو عدد مثبت نوشت :

12 به توان 3 به علاوه 1 به توان 3 و 10 به توان 3 به علاوه 9 به توان 3 هردو برابر 1729می باشند .(اولین مطلب موجود در رابطه با این خاصیت 1729 به کارهای بسی ریاضیدان فرانسوی قرن هفدهم باز می گردد.)

حال اگر کمی مانند ریاضیدانها عمل کنید باید به دنبال کوچکترین عددی بگردید که به سه طریق مختلف حاصلجمع مکعبهای دو عدد مثبت است این عدد87539319 می باشد که در سال 1957توسط لیچ کشف شد: 414 به توان 3 + 255 به توان 3 و 423 به توان 3+ 228 به توان 3 و 436 به توان 3 + 167 به توان 3 هر سه جوابشان برابر87539319 است . امروزه ریاضیدانان عددی را که به n طریق مختلف به صورت حاصلجمع مکعبهای دو عدد مثبت باشد ،n ــامین عدد تاکسی می نامند و آنرا با Taxicab نمایش می دهند.

جالبتر از همه اینکه ،هاردی و رایت ثابت کردند برای هر عدد طبیعی n ناکوچکتر از 1 ،n ــامین عدد تاکسی وجود دارد ! هرچند، چهارمین تا هشتمین اعداد تاکسی نیز کشف شده اند ولی تلاشها برای یافتن نهمین عدد تاکسی تاکنون نا کام مانده است . متاسفانه اطلاعات زیادی درباره اعداد تاکسی موجود نیست . در ضمن میتوان مسئله را از راههای دیگر نیز گسترش داد .

مثلا همانگونه که هاردی در ادامه داستان فوق از رامانو جان پرسید و او قادر به پاسخگویی نبود ، این پرسش را مطرح کنید: کوچکترین عددی که به دوطریق حاصلجمع توانهای چهارم دو عدد مثبت می باشد ،کدام است؟ این عدد توسط اویلر یافت شده است :635318657 حاصلجمع توان چهارم 59 و 158 همچنین توانهای چهارم 133 و 134 می باشد.